斐波那契数列通项公式:
斐波那契数列通项公式
可以由母函数推导得到,过程如下:
首先,我们不知道数列的母函数,先按照定义假设一个母函数
定义母函数
如上图,Fi为数列的项,i为下标,数列为母函数的各项系数,各项指数和i相同,因为是无限级数,所以定义一个无穷小量O(x),当x次数足够大的时候,此项就足够接近于零,前提是x是零附近的实数,按照数列的定义,每一项为前两项之和,我们来构建每一项与前两项的差值,从而利用到这个性质,看看有什么结果
既然要构建系数差值,那么就需要次数相同的项,那么前两项就要乘以x和x的平方,如下:
构建相同次数的系数关系
观察可以看见,可以使用这三个多项式相加减,构造形如Fn-1,Fn,Fn-2的关系
构造三者关系
这样,就构造出了连续三项之间的关系,显然,直到无穷项,大部分系数其实都等于零,基于斐波那契数列的定义
消除了无穷项
显然,F0=0,F1=1,F2=1,代入可得:
化简
次数越高,无穷小量就越接近零,我们使用FG代表无穷级数,那么就有FG*(x^2+x-1)=-x,无穷小量就直接是零了
母函数的表达式
这里假设分母x^2+x-1的根为r和s,那么,母函数可以写成如下形式
使用根来定义母函数
想办法把r和s分开
之所以要把r和s分开,是因为分开后,可以分别做泰勒展开
泰勒展开结果
这样,我们就得到了每一项系数使用r和s的表达结果,规律很容易看出来
系数通项公式即为数列通项公式
我们来验证一下,r和s为x^2+x-1的两个根,解一下
解方程
给r和s赋值
看数列前5项:
计算数列前几项
好像有什么奇怪的东西混进来了,不怕,mma给的是精确的结果,我们把结果化简
前10项和数列一致
那通项公式呢
通项公式化简
好像怎么化简都得不到网上的标准格式,不怕,我们来验证两种格式是否等价即可
两种格式等价
n在自然数内,可以使得Fn和标准格式的通项公式相等,推导过程到此结束。
生成函数的数学推导过程