正态分布连续型随机变量（正态分布属于连续性随机变量）

与离散型随机变量相对，连续随机变量的可能结果是不可计数的。例如，如果1.250是连续随机变量的一个可能值，则不能命名下一个更高或更低的可能值。从技术上讲，连续随机变量的可能结果的范围是实线(−∞和∞之间的所有实数)或实线的某些子集。

正态分布可能是定量研究工作中应用最广泛的连续概率分布。它在现代投资组合理论和许多风险管理技术中发挥着关键作用。因为它有很多用途，所以是投资专业人士必备知识。

正态分布在统计推断和回归分析中的作用被一个称之为中心极限定理的重要结果大大扩展了。中心极限定理指出，大量独立随机变量的和(和均值)近似于正态分布。

1733年，法国数学家亚伯拉罕·德莫伊夫(1667-1754)在发展中心极限定理的过程中引入了正态分布。正态分布是对称的，呈钟形，正态分布的可能结果的范围是整个实数：位于−∞和∞之间的所有实数。钟形曲线的尾巴不受限制地向左和向右延伸。

正态分布的定义特征如下：

正态分布完全由两个参数描述-均值μ和方差σ2.我们表示为X~N(μ，σ2)，读作“X服从正态分布，均值μ和方差σ2”。我们也可以用平均值和标准差σ来定义正态分布，这通常很方便，因为σ是用与X和μ相同的单位来测量的。因此，如果我们知道一个正态随机变量的均值和方差(或标准差)，我们就可以回答它的任何概率问题。
正态分布的偏度为0(它是对称的)。正态分布的峰度为3；由于对称的结果，它的超额峰度(峰度−3.0)等于0.16，对于一个正态随机变量，均值、中值和模都是相等的。
两个或多个正态随机变量的线性组合也是正态分布。

这里还有个观点，涉及单变量或单变量正态分布：一个正态随机变量的分布。单变量分布描述单个随机变量。多元分布指定了一组相关随机变量的概率。在投资工作和阅读中，你将遇到多元正态分布，并应了解以下情况。当我们有一组资产时，我们可以分别对每个资产的收益分布进行建模，或者将资产上的收益分配作为一个组来建模。“作为一个群体”意味着我们考虑到所有的统计之间的相互关系返回序列。一个经常用于安全回报的模型是多元正态分布。n种股票收益的多元正态分布完全由三个参数列表定义：

单个证券的平均回报列表(n表示总计)；
证券收益差异列表(共计n个差异)；
所有两两回归相关的列表：共计n(n−1)/2。

与单变量正态分布相比，需要指出相关性是多元正态分布的一个显著特征。

“假定回报是正态分布”的语句有时被用来表示联合正态分布。例如，对于30种证券组合，投资组合回报是30种证券收益的加权平均值。加权平均值是线性组合。因此，如果单个证券收益是(联合)正态分布的，则投资组合收益是正态分布的。为了确定投资组合收益的正态分布，我们需要组合证券的均值、方差和两两相关关系。

考虑到这些概念，我们可以返回到一个随机变量的正态分布。正态密度函数如下：

虽然不完全准确，但正态分布可被视为回报的近似模型。几乎所有正态随机变量的概率都包含在均值的三个标准差内。对于许多资产的平均回报和回报标准差的实际值，低于−100%的正常概率非常小。这个近似在给定的应用中是否有用是一个经验性的问题。例如，与每日或每周的回报率相比，正态分布更适合多元化股票组合的季度和年度持有期回报。在大多数股票回报序列中，长期偏离常态的是峰度大于3，这就是肥尾问题。因此，当我们用正态分布逼近股票收益分布时，我们应该意识到正态分布往往低估了极端收益的概率。期权收益是倾斜的。由于正态分布是一种对称分布，所以我们应该谨慎地使用正态分布来模拟包含期权中重要头寸的投资组合的收益。

因此，正态分布应用于资产价格模型不如应用于回报模型更加精确有用。一个正常的随机变量没有下限，这一特性对投资应用有几个含义，资产价格只能降到0，此时资产变得毫无价值。因此，投资分析人士一般不使用正态分布来模拟资产价格的分布。还请注意，从任何资产价格到0的水平转换为−100%的回报率。由于正态分布不受限制地扩展到0以下，因此它不能作为资产回报的精确模型。后面会提到，要想预测资产价格，模型最实用对数正态分布函数。