代数数的基数（数与代数的基础知识）

一．概念描述

现代数学：自然数定义的方式之一。每一个有限集合中的元素个数都对应着一个自然数。在同一类有限集合中，它们具有一个共同的特征，就是所含元素的个数相同。例如，三支铅笔、三头牛、三架飞机是同一类对等集合，它们的共同特征是3，数量3就是它们的基数。所以，用以表示事物数量多少的自然数就是基数。一般地说，把对等的有限集合所具有的共同特征，称为这类对等集合的基数。因此，有限集合的基数就是自然数。但是，自然数集合是无限的，对一切能与自然数集建立一一对应关系的无限可数集合的基数，规定为ℵ0（读作阿勒夫零，ℵ为希伯来文的第一个字母）。有了自然数的基数定义，就可定义数的顺序及其四则运算，即可建立自然数的基数理论，甚至建立自然数的公理体系。

小学数学：自然数有两方面的含义，用来表示事物的多少时，称为基数；用来表示事物的次序时，称为序数。基数含义从认数1-5已经开始了，它是结合认数进行的，而序数含义是在了解了1-5的基数含义的基础上学习的。

二．概念解读

最早提出基数概念的是康托尔，他在1874-1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时，首次引入基数概念。他最先想到的是集合{l，2，3}和{2，3，4}，它们并非相同，但都有相同的基数。如此显而易见的事，又到底为什么两个集合拥有相同数目的元素呢？

康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的联系起来——如果能够做到，则两个集合的基数自然相同。这答案虽容易理解但却是革命性的，因为用这个方法可以比较任意集合，包括无穷集合的大小。他给出的定义是：两个集合有相同的基数，当且仅当它们等势。这种定义是不严格的，它并没有说清楚“基数”究竟是什么，只是指出了基数相等的充要条件。

后来，弗雷格给出基数的概念：集合x的基数，就是{y：y等势于x}。（比如，自然数1就定义为{x：x是一元集}）。可以证明，对任何x，{y：y等势于x}不是一个集合，而是真类。

再后来，冯·诺依曼取得了很大的突破：他首先给出了严格的“序数”概念（康托尔等人的“序数定义”很不严格）：序数就是被∈良序的传递集。在此基础上，他定义基数的概念如下：对于良序集下，x的基数就是与它等势的序数中的最小者。

到了20世纪70年代，斯科特彻底解决了问题。他发现了一个小窍门——现在称之为“Scott trick”，这种窍门可以把任何一个类转换成它的一个指定的子集而不用选择公理，但必须使用ZF8（正则公理）。利用这一窍门，非良序集x的基数就可以定义为：真类{y：y等势于x}经此窍门转换得到的集合。与此同时，斯科特证明了：在既没有选择公理又没有正则公理的情况下，“基数”是不可定义的。也就是说，我们不能定义一个类函数F．使得：对于任意的集合x、y，F(x)=F(y) ，iff x等势于y。

最后，平卡斯证明了：在没有选择公理的情况下，我们不能定义一个类函数F，使得：①对于任意的集合x、y，F（x）=F(y) iff x 等势于y；②对任意的集合x，F(x)等势于x。

至此，基数的定义问题彻底解决。

三．教学建议

(1)初步体会自然数作为基数的含义

在回答“有几个？”时，学生先是数，数到最后，得出基数。他们在计数过程中必须同时将有序的自然数与描述大小的自然数之间的对应沟通起来（口中念的数与被数的物体——即集合中的元素，对应起来）。比如刘鹏老师在教学“认识10以内的数”整理复习一课时，首先为学生出示了一幅主题图，然后提问：“图中有几棵树？”当学生运用数的方法，得出正确答案时，刘老师又请一名学生到屏幕前指着画面中的树，一棵一棵地数一数，再次进行验证，使学生感受到最后一棵树对应的数6就是这排树的总棵树。每棵树上都有1只小鸟，共6只鸟。6棵树，6只鸟，它们的数量都是6，都可以用数6来表示。

(2)经历基数概念的认识过程

“基数”作为一个相对比较抽象的概念，如何让一年级学生在第一学期学习“10以内的数”时就能充分感知、理解，是低年级教学的重、难点。当然在教学时，教师要有意识地让学生亲身经历丰富的实践活动，化抽象为形象，通过让学生观察主题图，动手摆一摆、画一画、圈一圈等不同形式的活动，调动学生的手、脑、眼、耳、口多种感官协同运动。这样做既符合低年级学生的认知规律，又充分地调动了学生学习的积极性、激发了学生学习的兴趣，从而变难学为易学、乐学。而课后还应该结合学生的生活实际进行适当延伸，比如让学生在自己的身边去发现数量是1，2，3，4，5的物体等，为学生创造在生活实践中进一步学习、巩固数学知识的机会，同时强化了数学的应用意识，使学生能够多角度、多层面地感性理解“基数”这个概念。

(3)在具体语境中正确理解自然数的基数、序数含义

正因为自然数具有基数和序数两种不同的含义，所以，在一个句子中出现的自然数究竟是基数还是序数，要根据具体的语言环境来确定。比如，学生们在体育课上排成一列横队报数，排头从“1”开始，报到排尾是“37”，这个“37”既表示这一队学生共有37人，也表示排在队尾的那个学生是第37个。