三角形的各个心（三角形的各个心以及特点）

命中注定 • 2022-10-25 18:27:57 • 综合

即使我们不知道重心的数学术语解释，也没有关系，我们这么思考：假如一个三角形的木板，我用手指顶在某点，恰好使三角形木板平衡，那么这个点就是三角形的重心。

上面这段话应该是很好理解的，那么我们如何找到这个点呢？此时，我们先抛开这个三角形，假如我有一个质地均匀的木棍，那么如何找到这个木棍的重心呢？大家都很清楚，我用手指顶着这个木棍的中点，就会平衡，所以：一条线段的重心就是这个线段的中心。

我们再回到这个三角形，如果我们把这个三角形分割成很多个细棍（线段），如下图所示：

那么每条线段的重心都在线段的中点上，所以此三角形的重心一定在所有中点的连线上，也就是说，此三角形的重心在AF这条线段上

同理，我们就知道，此三角形的重心也在另外两条中线上，所以，三角形的重心是三条中线的交点。

二：“ 三角形的外心”

现在我们来研究一下三角形的外心，顾名思义，三角形的外心是指三角形的外接圆的圆心，那么，我们如何求出三角形的外心呢？请看下图：

三角形的三个顶点A,B,C都在圆O上，所以点O即是三角形ABC的外心，由于AB,BC,AC都是圆O的弦，所以O点必在AB的垂直平分线上，（定理：圆上任意一条弦的垂直平分线必过圆心），同理O点也在BC的垂直平分线上......

因此，三角形的外心是三角形垂直平分线的交点。

三：“ 三角形的内心”

顾名思义，三角形的内心是三角形内切圆的圆心，那么如何来求内心呢？我们还是先看下图：

三角形ABC的内心圆心为点O, 三边的切点分别是E,F,G,很显然，E,F,G这三点都在圆O上，我们连接EO,FO,GO，再连接AO,BO,CO,如下图所示：

由于E,F,G都在圆O上，所以OE=OF=OG

又因为E,F,G都是切点，所以OE垂直于AB,OG垂直于AC，OF垂直于BC，由RT三角形全等定理，我们很容易得到三组全等三角形：

所以，角度关系如下：

因此，三角形的内心是三条角平分线的交点。

四：“ 三角形的垂心”

所谓垂心，即是三条高的交点

总结一下：

三角形的重心是三条中线的交点。

三角形的外心是三条垂直平分线的交点。

三角形的内心是三条角平分线的交点。

三角形的垂心是三条高的交点。

一般高中所涉及的心只有这四种，接下来重磅来袭，在高考中，重心的运用是十分常见的，

三角形的重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

最常用的还是1，4，5，希望大家把重心的这三条性质牢牢记在心里。