在ΔABC中,Q是BC的中点;P是AQ上的一点,通过P的直线与AB相交M点,与AC相交于N点。证明BM/MA+CN/NA与线段MN无关,只与点P有关。
证法1:通过B点和C点分别做中线QA的平行线,与MN交于D点和F点。
由于两对相似三角形的存在有:
由于四边形BCFD是梯形, PQ是中线,所以:
因此有:
这个数十个常数,不管线段MN怎么变化,只和P点有关。
当P是三角形的形心时候,这个常数是1.
证法2:如图过B点和Q点做MN的平行线,交于AC于V,W点,
设线段AP=m, PS=n, SQ=t.
AN=z, NV=y, VW=WC=x (因为Q是中点,则W是VC的中点)
根据多个相似的三角形有:
BM/MA=n/m
n/t=y/x, 即y=nx/t
m/n=z/y, 即z=my/n=mx/t
因此:
CN/NA=(2x+y)/z=(2t+n)/m
所以:
BM/MA+CN/NA=(2n+2t)/m=2(n+t)/m=2PQ/PA
即只与P点的位置有关。
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。