三角形面积与内切圆半径的关系,推导过程（已知三角形的周长和内切圆半径）

东东评测 • 2022-06-09 16:36:57 • 综合

数学中有不少公式，有些同学刚学习时死记硬背，但是过了一段时间后，有些不常用的公式根本就记不住。因此，在学习时，要记住这些公式是怎么推导得到的。本篇文章主要介绍三角形内切圆半径的推导过程，三角形内切圆的半角与三角形的周长和面积相关。

我们首先要知道三角形的内心是如何确定的，三角形的内心是三个角角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，那么怎么得到一般三角形内切圆的半径呢？

其实，我们可以借助等面积法来解决，由内心的性质可以得到OD=OE=OF，△ABC可以分割成△OAB、△OBC和△OAC，那么S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，代入字母可以得到：AB×OD÷2+BC×OE÷2+AC×OF÷2=S，由于OD=OE=OF=r，那么可以得到（AB+BC+AC）×r=2S。而AB+BC+AC是三角形的周长，可用C或l来表示，即s=1/2lr，那么r=2s/l。这个公式中的字母与扇形的面积公式一样，因此，可以通过记住扇形的面积公式来记住三角形内切圆的半径公式。

当然，可以发现，推导过程也并没有很繁琐，利用了内心的性质和等面积法即可得到。

这是对所有的三角形都适用的公式，无论这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都可以利用该公式求出三角形内切圆的半径。

直角三角形比较特殊，那么有没有其它计算公式呢？

首先，直角三角形内切圆的半径也可以借助等面积法，面积可以用两直角边的乘积的一半表示，因此r=ab/（a+b+c），a、b为直角边长，c为斜边长。

接着，我们借助切线长定理再来研究下三角形内切圆的半径。首先，由内心的性质可以得到OD=OE=OF，由切线可知∠OEC=∠OFC=90°，那么可以得到四边形OECF为正方形。由切线长定理可以得到CE=CF，AE=AD，BE=BD，设CE=CF=r，那么AE=AD=b-r，BD=BF=a-r，由于AB=AD+BD，那么a-r+b-r=c，解得：r=（a+b-c）/2.