物理中的引力（高中物理引力势能）

什么是高中物理？（1）：从初中到高中

什么是高中物理？（2）：引力

什么是高中物理？（3）：电磁力

什么是高中物理？（4）：能量守恒

什么是高中物理？（5）：动量守恒

09什么是引力？

引力，又叫万有引力。

万有的意思很明显，就是说这种力是普遍存在的，任何两个有质量的物体之间都有这样一种力，谁也跑不掉（在牛顿力学里先这样理解，以后学了广义相对论，你会对引力有更加深刻的认识）。

这个意思很直白，就是说万物之间都会相互吸引。

你可能会疑惑：不会吧，万物之间都有吸引力？我和同学、课桌、教室之间也有？为什么从来没感觉到？

引力的确是万有的，别说跟你同学，就是跟看长尾公众号的手机，跟绣花针之间都引力。只不过这些力都太小，察觉不到。

为什么引力小呢？当然是因为质量小。你的体重在引力眼里不值一提，想感受引力，就得选个质量大的。

比如，你可以选择教学楼，你和一栋楼之间的引力就比两个人之间的大多了（想想教学楼的质量是你同学的多少倍）。不过，这个引力还是太小，依然感觉不到。

那再大一点，选择喜马拉雅山。很可惜，还是太小。

你可能要发飙了，我和这么大一座山之间的引力还小？你怕不是来忽悠我的吧。还嫌质量小，那我把整个地球选给你好不好？

好，那我就不客气地签收了！这次你选对了。

引力虽然是万有的，但是它非常微弱，我们需要地球这个级别的物体才能直观感受到它的存在。

地球和我们之间的引力深深影响着每个人的生活，它给了我们安全感，也给了我们恐惧。它让地球不会分崩离析，也俘获了月亮的心……

你可以想一想，为什么你每次跳起来之后都会落回地面？

你可能觉得这理所当然，或者从来就没想过，似乎“每个物体都会往下落”是天经地义的事情（就像亚里士多德说的“XX天然有向地球中心运动的趋势”一样）。

但是，你想想惯性定律，万物都是“懒”的，人也一样。

如果没有外力影响，物体会一直保持原来的运动状态。原来是静止的，后面就一直静止；原来有一个速度，后面就一直以这个速度匀速直线运动。

我们跳起来时，速度是指向天上的，跳起来后慢慢减速，到了最高点速度为0，然后开始反向加速下落。

整个过程中，速度的大小和方向都发生了明显的变化，这就表明跳跃时肯定受到了其它外力的影响，这个力让我们的速度发生了改变。

但是，我们跳起来后明明没有跟任何东西接触，那这能是什么力呢？答案是引力，是我们和地球之间的万有引力。

任何两个物体之间都有引力，地球和地面物体之间当然也是。你可以把地球想象成一个巨大的吸铁石，它对地面上的任何东西都有强大的吸引力，所以高处的物体总会往低处走。

于是，你跳起来，又被吸回来；苹果会被吸到地面，高处的水被吸到低处；你提着一袋东西觉得重，那是因为地球想把这袋东西吸过去，但你“死死拽着”不放，你在跟地球拔河；月亮一直围着地球转，也是因为被地球吸住了，想跑跑不掉……

这些，都是地球引力干的，它吸引着一切，感知极强。

因为我们生活在地球，从小就感受着来自地球的引力，所以早已见怪不怪。

但是，如果哪天你到了月球，因为月球的引力比地球小很多，你可能轻松一跳就是两层楼高；如果在外太空，可能轻轻一跳，就永远下不来了。

长尾君当年学习引力时，还解开了一个困惑我多年的谜题，内心倍感舒畅，这里也分享一下。

从小我就知道人类生活在地球表面，那问题就来了：我住在地球“上面”，头朝上，那住在地球另一面的人岂不是脚朝上？为什么他们没有掉下去？

直到学了万有引力，我才恍然大悟：原来大家都是被地球吸住的！

根本就没有什么绝对的上下，也不是上面的东西天生就要往下落，而是大家都被地球吸得往地心方向跑而已。

好，到这里，相信大家对引力就有一个概念了。

但这还远远不够，虽然我知道苹果下落、月亮围着地球转都是引力造成的，那引力具体是怎么影响它们的呢？

这个地球引力到底会使苹果以多大的加速度下落？1秒后苹果的速度是多大，2秒后会下落几米？它会使月亮以多大的周期围着地球转？

如果不把这些细节搞清楚，我们也不好意思说弄懂了它们的运动情况。

说白了，我们必须能定量算出两个物体间引力的大小，然后才能用牛顿第二定律F=ma算出具体的加速度，进而分析物体的运动细节。

10万有引力定律

引力的规律要如何找呢？

前面说了，引力非常微弱，地面物体之间的引力非常小。想通过观测它们来总结引力的规律，怕是行不通。

所以，我们把目光转向了天上。月亮围着地球转，地球和其它行星围着太阳转，一些大的行星（比如木星和土星）还有一堆卫星围着它们转，这些肉眼可见的天文现象可都是引力主导的啊。

于是我们夜观星象，把星体的运动轨迹都记录下来（一个叫第谷的人做得极好）。然后分析它们的运动轨迹，从中找出一些星体的运动规律（第谷的学生开普勒发现了行星运动的三大定律）。最后根据这些定律，利用数学和物理知识反推出让星体这样运动的力应该具有什么样的性质。

这一步，很多科学家都在走，但牛顿凭借他逆天的数学和物理才华（唯一一个同时稳居数学、物理Top3的人），第一个走出了迷宫，给出了描述引力的精确定律，并用它成功解释了当时一切跟引力相关的运动现象。

这一仗，牛顿大获成功，这个能精确描述引力的定律，被称为万有引力定律。

牛顿是如何得到这个定律的，这里不细说。我们先来直观地感受一下，来猜一猜这个定律应该长什么样。毕竟它号称能精确描述万有引力，我们看看它的描述跟我们的直观感受是否冲突。

大家知道，任何两个物体之间都有引力，而且质量越大，引力越大。

那么，引力就只跟质量有关么？太阳的质量比地球大得多，为什么我们没有被太阳吸走？答案当然是：因为地球距离我们更近。

所谓强龙压不过地头蛇，我的地盘我做主，任何势力都有他的范围，引力亦然。所以，除了质量，引力还应该跟距离有关。

而且，容易想象，引力跟质量、距离的关系，一定是质量越大，引力越大；距离越大，引力越小。

这不是什么问题，真正的问题是：它们之间定量的关系到底是怎样的？我把质量增大到原来的2倍，引力会增大多少？把距离扩大为原来的2倍，引力又会减小多少？

只有把这个关系搞清楚了，才能精确地计算引力，才算搞定了引力。

先来看引力和质量的关系。

假设有两个1kg的铁球，它们之间有一定的引力。那么，如果其中一个铁球的质量从1kg增加为2kg，你觉得引力会变成多少？是原来的2倍（1×2），3倍（1+2），还是其它什么的？

理论上来说，应该是2倍，也就是说质量之间应该是乘法关系。

因为我可以把2kg的铁球看成两个1kg的铁球，那每个1kg铁球的引力就和原来的一样，新的引力自然就是原来的2倍。

所以，两个物体之间的引力F应该和这两个物体的质量m1、m2的乘积成正比。其中任何一个物体的质量增加为原来的多少倍，它们之间的引力就增加为原来的多少倍。

引力和质量的关系好说，真正困难的是和距离的关系。

假设两个小球相距1米，现在它们之间的距离扩大为2米。那么，它们之间的引力会减小为原来的多少呢？是原来的1/2，1/4，还是1/8什么的？

有人说你可以去做实验啊，看看把两个小球之间的距离增加一倍以后，它们之间的引力会缩小为原来的几分之一。

但是，引力的实验不好做啊。

因为引力非常微弱，地面上两个物体之间的引力很难测量。而且，引力是万有的，我们很难屏蔽其它物体对实验的影响。

引力有显著作用的地方，还是在天上。开普勒就是从星体运动的轨道数据里发现了行星运动三大定律，牛顿从这里打开了思路，最终发现（其实胡克、哈雷等人也发现了）引力跟距离的平方成反比。

也就是说，如果两个物体之间的距离变为原来的2倍，它们之间的引力就减小为原来的1/4；距离变为3倍，引力就减小为原来的1/9。

其实，平方反比定律在自然界非常常见。

大家想想圆的周长公式C=2πr，周长跟半径（即半径的1次方）成正比。圆的面积公式S=πr²，球体的表面积公式S=4πr²，面积跟半径的平方（2次方）成正比。圆球的体积公式V=4πr³/3，体积跟半径的立方（3次方）成正比。

发现没有，周长跟半径的1次方成正比，面积跟半径的2次方成正比，体积跟半径的3次方成正比。

而现实世界是3维的。这就意味着，如果有个东西爆炸了，它释放出来的能量就会以球面的形式向外扩展。

比如，某个爆炸产生的冲击波1秒钟传播1千米，那么，2秒后这个冲击波就会向空间各方向传播2千米，组成一个半径为2千米的2维球面。

球的表面积公式是S=4πr²，于是，我们可以粗略的认为：爆炸源的能量每时每刻都被平均分给了4πr²个部分，它跟半径r的平方有关。

这就是各种平方反比定律更深层次的来源。

同样，如果我们的空间是4维的，你就会看到各种立方（3次方）反比定律，这也是科学家们检验是否存在高维空间的一种办法。

好，理解了这些，引力跟距离的平方成反比就非常正常了。

于是，我们就知道了：两个物体之间的引力F跟两个物体的质量m1、m2成正比，跟它们之间距离r的平方成反比。

写成公式就是：

这就是大名鼎鼎的万有引力定律，是牛顿力学里描述引力的东西。

图中F表示引力，因为引力是相互的，你吸引我，我也吸引你。而且这种吸引大小相等、方向相反，图里就用F1、F2分别表示。

因为质量越大，引力越大，所以分子就是两个物体质量m1和m2的乘积。因为空间是3维的，所以引力的大小跟距离的平方成反比，于是分母是r²。最外面的G是万有引力常数，数值大概是6.67×10^-11N·m²/kg²。

有了这个公式，理论上，只要我们知道两个物体的质量和它们之间的距离，就能算出引力。知道了引力F，根据牛顿第二定律F=ma就能求出物体的加速度a，进而知道物体的运动情况。

于是，一个完美的引力闭环就形成了。

我们终于可以同时掌握上游的引力计算，中游的引力转加速度以及下游的加速度分析运动了。

既然任督二脉已经打通，内循环也转了起来，要不，我们用牛刀杀一只鸡试试？

11下落的苹果

很多人在听万有引力故事时，都会听到牛顿被苹果砸到的事。这里我们不讨论故事的真伪，就单纯地分析一下苹果下落这个过程。

苹果为什么会下落？当然是因为受到了地球的引力，它是被地球“吸”向地心的。到了这里，相信大家对这个已经没啥异议了。

跟以前不同的是，我们现在已经知道了万有引力定律。

我们不仅知道苹果下落是由地球引力造成的，还能把这个引力的大小算出来。求出引力后，秉着“力是改变物体运动状态（速度）”的想法，用牛顿第二定律F=ma把苹果下落的加速度a算出来，再根据加速度分析苹果的下落情况。

简单来说就是三步走：第一，找到让苹果下落的力（这里就是地球和苹果之间的引力，用万有引力定律来求）；第二，找到合外力后，用牛顿第二定律F=ma求苹果的加速度a；第三，利用加速度分析苹果下落的运动情况。

整个思路是如此的简单而清晰，我们一步步走。

第一步，找到苹果和地球之间的引力，这当然要求助于刚刚发现的万有引力定律：

从定律的形式来看，想知道苹果和地球之间的引力，就必须知道苹果的质量、地球的质量以及苹果与地球之间的距离r（G是个常数，不用管它），我们分别来看一看。

苹果的质量好说，你的苹果是半斤还是六两，称一称就知道了。不过，我们这里并不限定苹果的质量，大小随你挑，因为你很快就会发现苹果的下落情况跟苹果的质量压根没有关系。

这是一个让人非常吃惊的“巧合”，爱因斯坦就从这里撕开了通向广义相对论的一个口子。

小时候我们学过一篇《两个铁球同时着地》，说的也是这个事。同时放下一轻一重两个铁球，大家原以为重铁球会先着地，轻铁球后着地，结果发现它们居然是同时着地的。

所以，苹果的质量，我们先记作m就好了。

地球的质量也是一个固定的数值，可以去查。因为地球的质量比较大，我们暂且记为大写的M。

那么，剩下的就只有苹果和地球之间的距离r了。

这个距离要怎么算呢？假设一个苹果从3米高的树上掉落，那苹果和地球的距离是多少呢？是3米，还是地球的半径加上3米？

如果两个物体都很小（相对它们的距离很小，可以当作质点），那它们的距离就是这两点连线的长度，这个好理解。

但是，如果物体很大，大到不能当作一个质点呢？

比如地球，地球上每一块土壤对苹果都有吸引力，地球作为一个整体对苹果的吸引力应该是地球上所有物质对苹果吸引力的总和。

当然，你可以把地球切成无数小块块，利用万有引力定律算出每一小块与苹果之间的引力，再把所有的引力加起来。

但是，这玩意明摆着要用微积分啊，而当时并没有微积分。

于是，牛顿说你们等我一下，然后跑回去吭哧吭哧地发明了微积分，再回来把问题解决了，一旁的胡克只能干瞪眼（想了解微积分的中学生可以看我这篇《你也能懂的微积分》）。

这样，你就知道一个数学厉害的物理学家有多可怕了吧？

牛顿拿起微积分一通计算，发现地球上所有物体对苹果引力的和，等价于把地球的质量全部集中在地心对苹果的引力。

也就是说，我们可以直接把苹果到地心的距离当做苹果和地球之间的距离r。

地球的半径R大概是6371千米，苹果树高3米，这个树高在地球半径面前当然可以忽略。也就是说，苹果到地球的距离，实际上就等于地球的半径R。

于是，苹果的质量m，地球的质量M，苹果和地球之间的距离（地球的半径R）就都知道了，代入万有引力定律就能算出苹果和地球之间的引力：

到这里，三步走的第一步，也就是算出让苹果下落的地球引力的大小，就正式完成了。

算出了合外力F的大小，接下来就进入第二步，也就是利用牛顿第二定律F=ma计算苹果下落的加速度a。

这一步太简单了，把质量m移到左边，直接让合外力F除以质量m就能得到苹果的加速度a。而这个合外力F就是上面的引力，代入化简一下就有：

得到的加速度a很有意思。你会发现牛顿第二定律F=ma里苹果的质量m，刚好跟万有引力定律里苹果的质量m约去了。

于是，苹果下落的加速度a，最后就只跟地球的质量M，地球的半径R，以及万有引力常数G有关，反而跟苹果自己的质量m无关。

这是什么意思？

意思就是说，苹果下落时，不管苹果的质量是多少，它下落的加速度都一样，因为这个加速度只跟地球的质量和半径有关。

加速度一样，如果苹果的初始状态也一样（比如都是静止的，初速度为0），那苹果在下落过程中每一分每一秒增加的速度都会一样，导致的结果就是两个苹果的运动状态完全一样。

这下子，你知道为什么两个不同质量的苹果（铁球）会同时着地了吧？

由于苹果下落的加速度a只跟地球质量M、地球半径R以及万有引力常数G有关，而它们都是确定值。我们把数据代进去，最后发现苹果下落的加速度大致等于9.8m/s²。

也就是说，苹果下落时，它的速度会每秒增加9.8m/s。

如果苹果一开始是静止的，1秒后它的速度将增加到9.8m/s，2秒后达到9.8×2=19.6m/s，以此类推……

而且，可以想象，这个规律不仅对苹果适用，对铁球，对石头，对羽毛，对地面附近任何只受到引力下落的物体都是适用的，因为这个9.8m/s²只跟地球的半径和质量有关。

为什么要一直强调地面附近呢？

因为只有在地面附近，我们才能忽略物体到地面的高度，认为物体到地心的距离等于地球半径。如果物体飞得太高，到地心的距离不能再用地球半径（还得加上物体距地面的高度）表示，那加速度就自然不再是9.8m/s²。

另外，因为地面有空气，任何物体下落时都会受到空气阻力的影响。所以，如果物体的重力比空气阻力大很多，比如铁球、苹果，那我们就可以忽略空气阻力，认为下落的加速度还是9.8m/s²。

但是，对于羽毛这种非常轻的物体，重力很小，空气阻力无法忽略。所以，我们放下羽毛时，就会觉得羽毛没有苹果落得快，并不会一秒后加速到9.8m/s。

如果在没有空气阻力的地方同时放下羽毛和苹果，你就会发现它们的下落速度是完全一样的，如下图：

这个9.8m/s²是所有物体在地球表面，由于地球引力带来的加速度，我们称之为重力加速度，用专门的符号g来表示（以区别于一般的加速度a）。

当然，地球并不是一个绝对球体，它本身也在缓慢自转。因此，地球表面不同地方（比如赤道和南极）的重力加速度也存在微小差异。不过，一般情况下我们并不用考虑它们，甚至，为了计算方便，题目中一般取重力加速度g为10m/s²。

于是，我们就知道了苹果在地面大约以10m/s²的加速度下落，然后我们就知道了苹果下落的一切运动信息。

比如，如果苹果从静止开始下落，1秒后它的速度是10m/s，下落高度是5米（想想为什么）；2秒后速度是20m/s，下落高度为20米……

我们可以知道苹果在任意时刻的速度和下落高度，这才叫掌握了苹果的一切运动情况。

怎么样？有了万有引力定律，我们果然可以从物体的受力情况出发，算出它的加速度，再精确分析它的运动情况。

你告诉我物体如何受力，我果然能告诉你物体如何运动，牛顿诚不我欺也！

12从苹果到高中物理

到这里，我们就完成了一个最典型运动过程的分析：一个物体在某种力（重力或者其它力）的作用下开始改变运动状态，这个改变就体现在它具有一定的加速度a上。而加速度a可以通过牛顿第二定律F=ma得到，然后我们就可以通过加速度分析物体的运动情况了。

基本上，这就是高中物理要学的一切，是高中物理的主干，也是整个牛顿力学的主干。

好，如果牛顿力学的核心就是这么点东西，但你要出题，你要给千万考生出题。而且，出的题一不能超纲（比如不准用微积分），二还得有区分度，怎么办？

你看啊，牛顿力学的核心框架就是通过分析物体的受力来分析物体的运动。于是，牛顿第二定律F=ma就把所有问题都切割成了两部分：受力部分和运动部分。

那我们出题也就有了一个基本的思路：我可以已知物体的受力情况，让你求物体的运动情况；或者反过来，已知物体的运动情况，让你求物体的受力情况。

前面我们分析了苹果在引力作用下的运动情况，我也可以把这个过程颠倒过来：告诉你苹果是怎么运动的，让你求苹果的受力情况。

然后，引力的问题基本上就完了。

那么，如果我还想把问题弄复杂一点，怎么办？能怎么办，引力玩完了，那就再换一种力呗。

一开始我就跟大家说了，我们目前已知的所有力，归结起来就是引力、电磁力、强力和弱力。但是，强力和弱力在日常生活中一般感觉不到，高中也不学，先不管。

那么，引力之外，就只有电磁力了。

13电磁力

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