概率和概率密度的区别公式（概率和概率密度的区别和联系）

先看概率和概率密度的定义：

若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成

则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度.

由以上定义可以看出，概率是一个面积，它表示的是某个事件发生的可能性的大小，而概率密度是一个函数值。

对于f(x)来说，它表示的是当x固定的时候，按照函数规则 f(x) 求出来的一个函数值，我们把这个函数称为概率密度。那么，概率密度又表示了一个什么意思呢？

我们先回顾一下均匀分布：

图1

可以看出，概率密度是可以大于1的，而且可以是一个很大的数字，而概率则不可能。

它的分布函数：

也就是说，因为要满足概率小于1的条件，那就必然导致：当概率密度越大的时候，其分布的区间就越小。

我们可以举一个例子：

假设两个队伍比赛投篮球，规定谁先投中十次谁赢。

如果一队每分钟有十个人投篮，二队则是五个人，假设参赛队员的水平都差不多，那我们知道，其结果基本可以肯定是一对会赢，因为一队的投篮频率更高，投中的次数自然更多，概率密度函数的本来意义，就是表示随机试验在对应的x点处出现的频率（f(x)），那么，这个每分钟的投篮频率，我们就可以认为是概率密度函数。也就是说，

概率密度函数可以理解为：单位时间内进行的随机试验的次数。

因为规定了投中十次就算赢，因此，投篮密度越大，需要持续的时间就越短。

还有一点值得注意，那就是对于连续型随机变量来说，其单点概率为0，这很自然，因为数学上的点是没有大小的，因此，对于图1中的积分来说，当积分区间长度为0的时候，其积分结果必然也是0。但是，单点的概率密度并不是0，而是x取某个值的时候的函数值f(x)。

这一点还是可以和投篮的例子相联系：

当我们观察一个时间段里面的投篮人数，当这个时间段非常短的时候，投篮人数必然为0（概率）；但是，已经规定了一分钟内至少要有五人投完一次，这个概率密度却始终存在。